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일차방정식
일차방정식이란 x, y, z와 같은 변수에 대하여 모든 변수의 지수(거듭제곱)가 1 또는 0인 방정식이다.
예를 들어 x = 3, x + 2y = 5, 3x + y + z + w = -8 등이 일차방정식이다.
참고로 다음 식은 일차방정식이 아니다.
그런데 왜 이렇게 쉬운 일차방정식을 아는 것이 중요할까?
그 이유는 선형 문제가 갖는 정보를 쉽게 알려준다는 특징을 갖고 있기 때문이다.
따라서 우리는 수학의 많은 영역을 선형 문제로 전환하여 해결하려고 하기 때문에
일차방정식을 아는 것은 매우 중요하다.
일차방정식은 그래프로 표현이 가능하고 이를 대수와 기하의 만남이라고 표현할 수 있다.
그림 1-1에서 두 직선이 평행하고 절편이 같지 않다면 해가 없다.
두 직선이 완전히 같다면 (평행하고 절편도 같음) 직선상의 모든 점이 해이다.
두 직선이 한 점에서 만난다면 (두 직선의 기울기가 다름) 교점이 해이다.
연립일차방정식
연립일차방정식이란 유한개의 변수로 이루어진 유한개의 일차방정식을 연립일차방정식이라고 한다.
일반적으로 n개의 변수를 가진 m개의 일차방정식으로 이루어진 연립일차방정식은 다음과 같다.
여기서 필연정보는 계수 a와 상수 b라고 할 수 있다. 나중에는 이를 행렬로 표현할 것이다.
그럼 연립일차방정식의 일반적 법칙에는 어떤 것이 있을까?
1. 두 방정식의 위치를 바꿔도 문제없다. → 위에서 연립일차방정식이 일차방정식의 집합이라고 했다.
집합 내에서 순서를 아무리 바꿔도 문제가 없듯 연립일차방정식 내에서 식의 위치를 바꾸는 것은 문제없다.
2. 방정식에 0이 아닌 상수를 곱해도 문제없다.
3. 한 방정식에 다른 방정식을 빼거나 더해도 문제없다. → 언뜻 보면 2번과 차이가 있고 방정식의 모양이 완전히 바뀌기 때문에 문제가 있을 것 같다. 하지만 교점(해)은 그대로 두고 방정식의 모양만 바뀐다고 생각하면 된다.
결국 답(해)은 바뀌지 않는다는 것이다.
연립일차방정식 문제를 풀 때 소거법을 이용한다. (위의 1~3번 법칙에 근거해)
위의 문제를 소거법으로 풀어보면 ①에 3을 곱하고 ②에서 빼준다. 그럼 x가 없어지고 변수가 2개 남는다.
다음으로 ①에 2를 곱해서 ③에서 빼준다. 그럼 x가 없어지고 변수가 2개 남는다.
그럼 두 개 변수 y와 z만을 갖는 일차방정식이 두 개 생기고 이를 다시 소거법으로 연립하여 풀어주면 결국 z의 값을 구할 수 있다. 이제 z값을 back substitution (후방 대입)을 해주면 x와 y의 값을 모두 구할 수 있다.
여기서 일반화 가능한 부분은 소거법을 한번 해주면 변수의 개수가 하나 줄고 식 또한 하나 줄어든다라는 부분이다.
가우스 소거법
연립일차방정식을 argmented matrix(첨가행렬)로 표현해 보자.
여기서 argmented라는 것은 우변 상수 b가 일반 matrix에 첨가되었다는 뜻이다.
argmented matrix 연산과정
1. 0이 아닌 상수를 행에 곱함
2.1번에서 얻은 행을 다른 행에 더하거나 뺌
3. 행을 교환
→ 기본 행 연산(elementary row operation)
→ 기본 행 연산으로 한 행렬이 다른 행렬로 변환되면 두 행렬을 행동치(row equivalent)라고 한다.
따라서, argmented matrix에 기본 행 연산을 수행해 연립일차방정식의 해를 구하는 것을 가우스 소거법이라고 한다.
위의 연립방정식을 가우스 소거법으로 row echelon form (행 사다리꼴)을 만들고 후방 대입(back substitutoon)을 이용하면 해를 구할 수 있다.
기약행 사다리꼴 (reduced row echelon form)
1. 모든 성부이 0인 행은 행렬의 마지막 행
2. 0이 아닌 성분이 있는 행에서 첫 번째로 0이 아닌 성분이 1 (이를 선행 1, leading 1이라고 부름)
3. 모든 성분이 0이 아닌 인접한 두 행의 선행 1은 행렬의 왼쪽 상단에서 오른쪽 하단으로 단계적으로 구성
4. 선행 1을 포함하는 열에서 0이 아닌 유일한 성분은 선행 1
만약 조건 1,2,3만 만족한다면 행 사다리꼴(row echelon form)이라고 부른다.
첨가행렬을 기약행 사다리 꼴로 변환하는 과정을 가우스-조단 소거법(Gauss-Jordan elimination)이라고 한다.
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