행렬의 곱셈

행렬이란?

행렬은 매트릭스라고도 하는데 행렬의 가로 줄을 행, 세로줄을 열이라고 한다. 

각 성분의 첨자는 먼저 행 번호를 쓰고 열 번호를 써주기 때문에 각 성분이 행렬의 어디에 있는지 쉽게 알 수 있다.

예를 들어 a 2,3은 2열 3행에 위치하는 성분이라는 것을 알 수 있다.

 

행렬과 스칼라 곱

행렬에 스칼라를 곱하면 어떻게 될까?

지난 포스팅에서 벡터와 스칼라의 곱을 알아보았다. 벡터는 크기와 방향을 갖고 화살표로 표기한다고 했었다.

벡터에 스칼라를 곱하면 그 길이(크기)가 스칼라 값에 따라 변했다. 2를 곱하면 두 배가 되고 -2를 곱하면 화살표 방향이

반대로 길이가 2배인 벡터가 만들어졌다.

 

행렬에 스칼라 10을 곱하면 행렬 각 성분마다 10을 곱해주면 된다.

각 성분 1, 2, 3, 4에 10을 곱해주면 10, 20, 30, 40이 된다. 여기서 음수나 분수를 곱하는 것도 문제없다.

사실 스칼라를 곱하는 것은 우리가 평소에 많이 하는 대수적 곱셈과 다를 게 없다. 다만 각각의 성분에 스칼라 값을 곱해 주어야 하는 것만 기억하면 된다.

 

행렬의 합과 차

기본 전제 조건: 더하거나 빼려는 두 행렬의 크기가 동일한 행렬이어야 한다.

여기서 크기는 m x n 행과 열의 개수를 의미한다.

이런 식으로 두 행렬의 사이즈가 같다면 덧셈이 가능하다. 덧셈과 뺄셈은 같은 위치의 성분끼리 더하거나 빼주면 된다.

1 + 5 = 6   |   2 + 6 = 8

3 + 7 = 10 |   4 + 8 = 12

 

행렬과 행렬의 곱

행렬과 행렬의 곱에도 전제 조건이 있다. a행렬이 m x n이라면 b 행렬의 행은 n개 이어야 한다.

즉, 앞 행렬의 열과 뒤 행렬의 행의 크기가 같아야 곱셈이 가능하다. 곱해서 나온 행렬의 크기는 앞 행렬의 행의 크기와 같은 행을 뒤 행렬의 열과 같은 열의 크기를 갖는다.

앞 행렬이 m x r 행렬이고, 뒤 행렬이 r x n 행렬이면 앞 행렬의 열과 뒤 행렬의 행이 r로 같기 때문에 곱셈이 가능하고,

그 결과는 앞 행렬의 행 m 뒤 행렬의 열 n이 결과 행렬의 크기가 된다.

 

앞 행렬은 1행 2열, 뒤 행렬은 2행 2열로 곱셈이 가능하고 결과 행렬은 1행 2열이 된다.

3 x 2 + 4 x (-1) = 2  |  3 x 3 + 4 x 5 = 29

 

 행렬 합의 성질

A, B, C가 모두 같은 크기의 m x n 행렬일 때, 다음이 성립한다.

1. A + B = B + A                    (교환 법칙)

2. (A + B) + C = A+ (B + C)  (결합 법칙)

3. A + A + A +... + A = kA  (A가 k번 있을 때)

4. 다음 성질을 만족하는 m x n 영행렬 O가 존재한다. A + O = A

5. 다음 성질을 만족하는 행렬 - A가 존재한다. A + (- A) = (- A) + A = 0

행렬 - A를 A의 합에 대한 역원이라고 한다.

 

행렬과 스칼라곱의 성질

m x n 행렬 A , B와 스칼라 c, k에 대하여 다음이 성립한다.

1. (ck) A= c(kA) 

2. k(A + B) = kA + kB (분배 법칙)

3. (c + k)A = cA + kA

 

행렬 곱의 성질

1. (AB) C = A(BC) (곱의 결합법칙)

2. A(B + C) = AB + AC (좌 분배법칙)

3. (B + C) A = BA + CA (우 분배법칙)

4. A x O = O x A = 0 (이 경우에는 행렬 곱에서 교환 법칙 성립)

행렬 곱에서 AB는 BA와 같지 않을 수 있다. (그래서 위의 2번과 3번을 좌 분배 우 분배 법칙으로 따로 나눠서 쓴 것임 ->왼쪽에 곱했을 때와 오른쪽에 곱했을 때 그 결과가 다르게 나올 수 있기 때문이다.)

위 행렬에서 AB는

12	-11	11
53	-22	33

BA는 B행렬의 크기 2 x 3, A행렬의 크기 2 x 2로 행렬곱의 전제조건이 맞지 않기 때문에 곱할 수 없다.

이렇게 두 행렬에 차이가 발생할 수 있다.